Rで統計学を学ぶ(5)

• 独立な2群のｔ検定(「独立な２群」とは何か、に注意)
  男女で心理学テストの平均値に差があるかどうか
  統計の好き嫌いで統計テストの平均値に差があるか---統計が好きである人の統計テストの点数の分布と、統計が嫌いな人の統計テストの点数の分布の比較
• 対応のある2群のｔ検定(何と何が対応しているか、に注意)
  同じ対象者に対して指導法の違いが成績に影響するかどうか

平均がそれぞれμ₁、μ₂、かつ分散σ²が等しい、正規分布に従う母集団から無作為抽出された標本X₁、X₂を考える：式で書くと X₁～N (μ₁, σ²) , X₂～N (μ₂,σ²)
その平均値の差(n₁とn₂はそれぞれの群のサンプルサイズ) はやはり正規分布に従う：
これを標準化する(問題: 標準化とは？):
ここで母分散σ²が未知であるなら標本から推定する: (ここで、と はそれぞれの群の不偏分散 ---問題:X₁とX₂ を合わせた標本の不偏分散の値とこのσ²_pooledとの関係は？)
この値によって次の検定統計量を導く：
こうして導かれた検定統計量ｔの標本分布は、帰無仮説H₀：μ₁ = μ₂のもとで、 自由度df = n₁ + n₂ - 2のｔ分布にしたがう。この検定統計量を用いて、２つの平均値の差に関する検定を行うことができるようになる(問題: 対立仮説はどうなる？):

統計1男 <- c(6,10,6,10,5,3,5,9,3,3)
統計1女 <- c(11,6,11,9,7,5,8,7,7,9)

1. 帰無仮説と対立仮説をたてる: 帰無仮説 H₀: μ₁ = μ₂ (2つの母平均は等しい)
   対立仮説 H₁: μ₁ ≠ μ₂ (2つの母平均は等しくない)
2. 検定統計量の選択: を検定統計量とする。これは、自由度 df = n₁ + n₂ - 2 のt分布に従う
3. 有意水準の決定: 両側検定で、有意水準 5%、つまりα=0.05
4. 検定統計量の実現値の計算: まず、２つの標本の平均と不偏分散を求め、

   > mean(統計1男)
   [1] 6
   > mean(統計1女)
   [1] 8
   > var(統計1男)
   [1] 7.777778
   > var(統計1女)
   [1] 4
   

   次に「プール標準偏差」σ_pooled を求める。

   > プール標準偏差<-sqrt(((length(統計1男)-1)*var(統計1男)+(length(統計1女)-1)*var(統計1女))/
   	(length(統計1男)+length(統計1女)-2))
   > プール標準偏差
   [1] 2.426703
   

   最後に検定統計量の実現値を計算する:

   > t分母 <- プール標準偏差*sqrt(1/length(統計1男)+1/length(統計1女))
   > t分子 <- mean(統計1男)-mean(統計1女)
   > ( t統計量 <- t分子/t分母 )			#  検定統計量
   [1] -1.842885	
   

   検定統計量の実現値がt = -1.84と求まった
5. 帰無仮説の棄却か採択かの決定: 帰無仮説によればこの検定統計量は自由度df=10+10-2=18のt分布に従う。 有意水準は5%、両側検定の時の棄却域を求める

   > qt(0.025,18)		#  検定統計量 df=18、下側確率0.05/2 = 0.025となるtの値を求める
   [1] -2.100922
   # 下側確率であるから、この値よりもt値が小さければ棄却される
   > qt(0.025,18,lower.tail=FALSE)	# df=18、上側確率 1 - 0.05/2 = 0.975となるtの値を求める
   [1] 2.100922
   # 上側確率であるから、この値よりもt値が大きければ棄却される
   

   この結果、棄却域は t < -2.10 または t > 2.10 となるので、tの値は棄却域に入らないため、帰無仮説は棄却されない。ゆえに、検定の結果は「有意水準5%で有意差が見られなかった」となる
   関数 pt を用いて、直接p値を求めることもできる:

   > pt(-1.842885,18)				# 下側確率
   [1] 0.04093903
   # 下側確率とすれば、p値は0.04という値(< 0.05)
   > 2*pt(-1.842885,18)		# 両側検定なので2倍する
   [1] 0.08187807
   # 両側検定であるから２倍したp値は0.08という値(> 0.05)
   

   なお、5章「t分布を用いた検定」で紹介した関数t.testによっても簡単に求めることができる(var.equal=TRUEというオプションをつける):

   > t.test(統計1男,統計1女,var.equal=TRUE)
           Two Sample t-test
   data:  統計1男 and 統計1女 
   t = -1.8429, df = 18, p-value = 0.08188				# t値、df値、p値の表示
   alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
   95 percent confidence interval:
    -4.2800355  0.2800355 
   sample estimates:
   mean of x mean of y 
           6         8 	
   

> クラスA <- c(54,55,52,48,50,38,41,40,53,52)
> クラスB<- c(67,63,50,60,61,69,43,58,36,29)
> var.test(クラスA, クラスB)

        F test to compare two variances				# 2つの分散の比較のためのF検定

data:  クラスA and クラスB 
F = 0.2157, num df = 9, denom df = 9, p-value = 0.03206		# F値、df値、p値の表示
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1 
95 percent confidence interval:
 0.05356961 0.86828987 
sample estimates:
ratio of variances 
         0.2156709

Welchの検定

> t.test(クラスA, クラスB, var.equal=FALSE)
        Welch Two Sample t-test					# Welchのt検定

data:  クラスA and クラスB 
t = -1.1191, df = 12.71, p-value = 0.2838		# F値、df値、p値の表示
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
95 percent confidence interval:
 -15.554888   4.954888 
sample estimates:
mean of x mean of y 
     48.3      53.6

• 対応のあるデータ: 例えば、同じ被験者について複数の測定が行われている場合
  例:　統計の指導を受ける前と後のテスト得点である「統計テスト1」と「統計テスト2」

差得点D ～ N (μ_D, σ²_D) と仮定すると、 標本平均

この標本分布を標準化すると ～ N (0, 1)
ここで、σ_Dが未知なので、これを標本から求めた標準偏差 で代用すると、 は自由度 df = n - 1 のt分布にしたがう

統計テスト1 <- c(6,10,6,10,5,3,5,9,3,3,11,6,11,9,7,5,8,7,7,9)
統計テスト2 <- c(10,13,8,15,8,6,9,10,7,3,18,14,18,11,12,5,7,12,7,7)

1. 帰無仮説と対立仮説をたてる: 帰無仮説 H₀: μ_D = 0 (2つのテストの差の母平均は0)
   対立仮説 H₁: μ_D ≠ 0 (2つのテストの差の母平均は0) ではない)
2. 検定統計量の選択: を検定統計量とする(帰無仮説の下ではμ_D = 0なので、)。これは、自由度 df = n-1 のt分布に従う
3. 有意水準の決定: 両側検定で、有意水準 5%、つまりα=0.05
4. 検定統計量の実現値の計算:

   > 変化量 <- 統計テスト2-統計テスト1
   > sd(変化量)
   [1] 2.772041
   > 分母t <-sd(変化量)/sqrt(length(変化量))
   > 分子t <- mean(変化量)
   > t統計量 <- 分子t/分母t
   > t統計量 
   [1] 4.839903
   

   この結果、検定統計量の実現値は t= 4.84
5. 帰無仮説の棄却か採択かの決定: 帰無仮説によればこの検定統計量は自由度df=20-1=19のt分布に従う。 有意水準は5%、両側検定の時の棄却域を求める

   > qt(0.025,19)		#  検定統計量 df=19、下側確率0.05/2 = 0.025となるtの値を求める
   [1] -2.093024
   # 下側確率であるから、この値よりもt値が小さければ棄却される
   > qt(0.025,19,lower.tail=FALSE)	# df=19、上側確率 1 - 0.05/2 = 0.975となるtの値を求める
   [1] 2.093024
   # 上側確率であるから、この値よりもt値が大きければ棄却される
   

   この結果、棄却域は t < -2.09 または t > 2.09 となるので、tの値は棄却域に入るため、帰無仮説は棄却される。ゆえに、検定の結果は「5%水準で有意差が見られた」となる
   なお、t.test関数にオプション paired=TRUEを指定することでも対応のあるt検定を求めることができる:

   > t.test(統計テスト1, 統計テスト2, paired=TRUE)
   　　　　Paired t-test
   data:  統計テスト1 and 統計テスト2 
   t = -4.8399, df = 19, p-value = 0.0001138			# t値、df値、p値の表示
   alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 
   95 percent confidence interval:
    -4.297355 -1.702645 
   sample estimates:
   mean of the differences 
                        -3
   

   この結果、p値が0.0001という小さな値であるので、帰無仮説が棄却され、検 定の結果は「有意水準5%で、統計テスト1と統計テスト2では有意な差があった」となる。