Rで統計学を学ぶ(7)

• 要因: 母平均に違いをもたらす原因　　　　　
• 水準: ある要因の中に含まれる個々の条件

• 主効果: それぞれの要因ごとの効果 --- 一元配置分散分析のときに考えた効果と同じ　　　
• 交互作用効果: 2つ以上の要因が組み合わされたときに生じる効果 ---2つの要因の効果の単純な足し算では説明できない効果

交互作用のある、なしに見られるデータの特徴: 以下ではinteraction.plotという、 交互作用効果を確認するための平均値のプロットを作成する関数を用いています:

交互作用のないデータ	交互作用があるデータ
パターンの例： B1 B2 B3 A1 4 3 6 A2 6 5 8	パターンの例: B1 B2 B3 A1 4 3 6 A2 4 6 7
要因Aによる平均値のプロット	要因Aによる平均値のプロット
要因Bによる平均値のプロット	要因Bによる平均値のプロット

1. 帰無仮説と対立仮説の設定
2. 検定統計量の選択: 分散分析では、検定統計値としてＦを利用
3. 有意水準αの決定: 有意水準は5％、つまりα＝0.05とする。この検定は片側検定
4. 検定統計量の実現値を求める---　aov関数を用いて実現値を求める
5. 帰無仮説の棄却or採択の決定

1. 帰無仮説と対立仮説の設定
   　
   • 要因Ａ(温度の違い)の主効果
     
     • 帰無仮説Ｈ₀：温度が違ってもおいしさ得点の母平均は等しい（要因Ａの主効果はない）
     • 対立仮説Ｈ₁：温度の違いによっておいしさ得点の母平均は異なる（要因Ａの主効果がある）
   • 要因Ｂ（銘柄の違い）の主効果
     
     • 帰無仮説Ｈ₀：銘柄が違ってもおいしさ得点の母平均は等しい(要因Bの主効果はない)
     • 対立仮説Ｈ₁：銘柄の違いによっておいしさ得点の母平均は異なる(要因Bの主効果がある)
   • 要因Ａと要因Ｂの交互作用効果
     
     • 帰無仮説Ｈ₀：温度と銘柄の組み合わせによるおいしさ得点の影響はない(要因Aと要因Bの交互作用効果はない)
     • 対立仮説Ｈ₁：度と銘柄の組み合わせによるおいしさ得点の影響がある(要因Aと要因Bの交互作用効果がある)
2. 検定統計量の選択 ---Fを検定統計量とする
3. 有意水準αの決定: ここでは有意水準は5%、つまりα=0.05とする。片側検定である
4. 検定統計量の実現値を求める: ここでは、最も一般的なaov関数を用いる

   > 味 <- c(6,4,5,3,2,10,8,10,8,9,11,12,12,10,10,5,4,2,2,2,7,6,5,4,3,12,8,5,6,4)
   > 温度 <- factor(c(rep("冷蔵庫",15),rep("常温",15)))
   > 銘柄 <- factor(rep(c(rep("イカアン",5),rep("ボスビック",5),rep("ビビッテル",5)),2))
   > summary(aov(味~温度*銘柄))
                    Df  Sum Sq    Mean Sq      F value    Pr(>F)    
   温度              1    67.5      67.500      21.3158   0.00011   ***
   銘柄              2   155.0      77.500      24.4737   1.608e-06 ***
   温度:銘柄         2    15.0       7.500       2.3684   0.11515    
   Residuals        24    76.0       3.167                      
   ---
   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
   # summary(aov(味~温度+銘柄+温度:銘柄)) としても同じ
   

5. 帰無仮説の棄却or採択の決定:
   • 温度の主効果：5％水準で有意な効果がある (p=0.0011 = 1.1×10^-4）
   • 銘柄の主効果：5％水準で有意な効果がある (p=1.6×10^-6）
   • 温度と銘柄の交互作用効果：5％水準で有意な効果はない（p=0.115）
   「interction.plot(横軸にとる要因、もう一方の要因、平均値を求める変数)」関数による交互作用効果の図:

   interaction.plot(温度,銘柄,味)
   

   [銘柄ごとの温度と味との関係の図]
   
   直線が完全に平行ではないので多少の交互作用はある(が有意な差ではない)

   		
   interaction.plot(銘柄,温度,味)		
   

   [温度ごとの銘柄と味との関係の図]
   

# 変数「味」, 「温度」, 「銘柄」 は前の例題のものを使う
> 人１ <- factor(rep(c("村松","川崎","井口","松中","城島"),6))		# 評定車の情報
> 数字ＩＤ１ <- factor(rep(1:5,6))		# 評定者名の代わりに数字を使う場合
> summary(aov(味~温度*銘柄			# 対応のない場合と同じ
	+Error(人１+人１:温度+人１:銘柄+人１:温度:銘柄)))	# 個人差によるデータの分析

Error: 人１
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Residuals  4     45   11.25               

Error: 人１:温度
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
温度       1   67.5   67.50      18 0.0132 *
Residuals  4   15.0    3.75                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Error: 人１:銘柄
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
銘柄       2    155    77.5     155 4.01e-07 ***
Residuals  8      4     0.5                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Error: 人１:温度:銘柄
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
温度:銘柄  2     15     7.5       5  0.039 *
Residuals  8     12     1.5                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

# 変数「味」, 「温度」, 「銘柄」 は前の例題のものを使う
> Ａ１条件 <- rep(c("村松","川崎","井口","松中","城島"),3)
> Ａ２条件 <- rep(c("斉藤","和田","寺原","杉内","新垣"),3)
> 人２ <- factor(c(Ａ１条件,Ａ２条件))
> 数字ID2 <- factor(c(rep(1:5,3),rep(6:10,3)))		# 評定者名の代わりに数字を使う場合	
> summary(aov(味~温度*銘柄			# 対応のない場合と同じ
                  +Error(人２:温度+人２:温度:銘柄)))		# 追加されたオプション

Error: 人２:温度
          Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
温度       1   67.5    67.5       9 0.0171 *
Residuals  8   60.0     7.5                 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Error: 人２:温度:銘柄
          Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
銘柄       2    155    77.5    77.5  5.87e-09 ***
温度:銘柄  2     15     7.5     7.5  0.00504 ** 
Residuals 16     16     1.0                     
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
 警告メッセージ： 
In aov(味 ~ 温度 * 銘柄 + Error(人２:温度 + 人２:温度:銘柄)) :
  Error() model is singular

• 人２：温度
• 人２：温度：銘柄